Algorytm adaptacyjny
Definicja 1: Funkcja interpolująca uzyskana poprzez projekcję w jednym wymiarze
Niech \( T_{hp}=\{ \left(K, X\left(K\right), \Pi_p \right) \}_K \) będzie siatką obliczeniową.
Niech \( V_{hp} \subset V_{\frac{h}{2}p+1} \subset V \) będą przestrzeniami aproksymacyjnymi na siatce obliczeniowej i odpowiadającej jej siatce referencyjnej.
Niech \( V_w \) będzie przestrzenią aproksymacyjną pośrednią \( V_{hp} \subset V_w \subset V_{\frac{h}{2}p+1} \).
Niech \( K\in T_{hp} \) będzie elementem skończonym na siatce obliczeniowej.
Niech \( u_{hp} \in V_{hp}, u_{\frac{h}{2}p+1} \in V_{\frac{h}{2}p+1} \) będą rozwiązaniami na siatce obliczeniowej i referencyjnej. Funkcją interpolującą \( w \in V_w \) na elemencie \( K \) uzyskaną poprzez projekcję z rozwiązania na siatce referencyjnej \( u_{\frac{h}{2}p+1}\in V_{\frac{h}{2}p+1} \) nazywamy \( w \) uzyskane poprzez następującą procedurę
- Interpolacja w węzłąch wierzchołkowych elementu \( w(a_i)=u_{\frac{h}{2}p+1}(a_i), i=1,2 \)
- Projekcja na węzłach wewnętrznych \( \| w' - u_{\frac{h}{2}p+1}' \|_{L^2(a_3)} \rightarrow min \) gdzie \( \| \cdot \|_{L^2(a_3)} \) oznacza normę nad wnętrzem elementu
Definicja 2: Funkcja interpolująca uzyskana poprzez projekcję w dwóch wymiarach
Niech \( T_{hp}=\{ \left(K, X\left(K\right), \Pi_p \right) \}_K \) będzie siatką obliczeniową.
Niech \( V_{hp} \subset V_{\frac{h}{2}p+1} \subset V \) będą przestrzeniami aproksymacyjnymi na siatce obliczeniowej i odpowiadającej jej siatce referencyjnej.
Niech \( V_w \) będzie przestrzenią aproksymacyjną pośrednią \( V_{hp} \subset V_w \subset V_{\frac{h}{2}p+1} \).
Niech \( K\in T_{hp} \) będzie elementem skończonym na siatce obliczeniowej.
Niech \( u_{hp} \in V_{hp}, u_{\frac{h}{2}p+1} \in V_{\frac{h}{2}p+1} \) będą rozwiązaniami na siatce obliczeniowej i referencyjnej. Funkcją interpolującą \( w \in V_w \) na elemencie \( K \) uzyskaną poprzez projekcję z rozwiązania na siatce referencyjnej \( u_{\frac{h}{2}p+1}\in V_{\frac{h}{2}p+1} \) nazywamy \( w \) uzyskane poprzez następującą procedurę
- Interpolacja w węzłąch wierzchołkowych elementu \( w(a_i)=u_{\frac{h}{2}p+1}(a_i), i=1,2,3,4 \)
- Projekcja na węzłach krawędziowych \( \| \nabla w \cdot e - \nabla u_{\frac{h}{2}p+1} \cdot e \|_{L^2(a_j)} \rightarrow min, j=5,6,7,8 \) gdzie \( \nabla w \cdot e \) oznacza pochodną kierunkową w kierunku równoległym do krawędzi, oraz \( \| \cdot \|_{L^2(a_j)} \) oznacza normę nad krawędzią elementu
- Projekcja na węzłach wewnętrznych \( \| \nabla w - \nabla u_{\frac{h}{2}p+1} \|_{L^2(a_9)} \rightarrow min \) gdzie \( \| \cdot \|_{L^2(a_j)} \) oznacza normę nad wnętrzem elementu
Definicja 3: Optymalna rozszerzona przestrzeń aproksymacyjna
Niech \( T_{hp}=\{ \left(K, X\left(K\right), \Pi_p \right) \}_K \) będzie siatką obliczeniową.
Niech \( V_{hp} \subset V_{\frac{h}{2}p+1} \subset V \) będą przestrzeniami aproksymacyjnymi na siatce obliczeniowej i odpowiadającej jej siatce referencyjnej.
Niech \( u_{hp} \in V_{hp}, u_{\frac{h}{2}p+1} \in V_{\frac{h}{2}p+1} \) będą rozwiązaniami na siatce obliczeniowej i referencyjnej.
Przestrzeń aproksymacyjną \( V_{opt} \) nazywamy optymalną rozszerzoną przestrzenią aproksymacyjną nad siatką obliczeniową, jeśli na każdym elemencie \( K \) funkcja interpolująca \( w_{opt} \) uzyskana poprzez projękcję rozwiązania na siatce referencyjnej \( u_{\frac{h}{2}p+1} \in V_{\frac{h}{2}p+1} \) spełnia następujące minimum
\( \frac{| u_{\frac{h}{2}p+1} - u_{hp} |_{H^1(K)}-| u_{\frac{h}{2}p+1} - w_{opt} |_{H^1(K)} } {\Delta nrdof (V_{hp},V_{opt},K) } = max_{V_{hp} \subset V_w \subset V_{\frac{h}{2}}p+1} \frac{| u_{\frac{h}{2}p+1} - u_{hp} |_{H^1(K)}-| u_{\frac{h}{2}p+1} - w |_{H^1(K)} } {\Delta nrdof (V_{hp},V_w,K) } \)
gdzie \( \| \cdot \|_{H^1(K)} \) oznacza normę \( H^1 \) nad wnętrzem elementu, \( w \) to funkcja interpolująca uzyskana przez projekcję, \( u_{\frac{h}{2}p+1} \in V_{\frac{h}{2}p+1} \) na \( V_w \) na elemencie \( K \), oraz \( \Delta nrdof (V_{hp},V_w,K) \) oznacza liczbę niewiadomych koniecznych do dodania do przestrzeni aproksymacyjnej na siatce obiczeniowej w celu rozszerzenia jej do przestrzeni \( V_w \) nad elementem \( K \).
Uwaga 1: Algorytm generacji optymalnej rozszerzonej przestrzeni aproksymacyjnej nad siatką obliczeniową
Optymalna rozszerzona przestrzeń aproksymacyjna może zostać znaleziona element po elemencie za pomocą następującego algorytmu
1 for \( K \in {\cal P}(T_{hp },K) \) (pętla po elementach siatki obliczeniowej)
2 for \( V_{opt}^K \) (pętla po przestrzeniach rozszerzonych nad elementem \( K \) )
3 \( rate\_max=0 \)
4 Oblicz funkcję interpolującą \( w \) poprzez projekcję rozwiązania na siatce referencyjnej \( u_{\frac{h}{2}p+1} \) nad elementem \( K \) odpowiadającą rozszerzonej przestrzeni aproksymacyjnej \( V_{opt}^K \)
5 Oblicz prędkość spadku błędu \( rate(w)= \frac{| u_{\frac{h}{2}p+1} - u_{hp} |_{H^1(K)}-| u_{\frac{h}{2}p+1} - w_{opt} |_{H^1(K)} } {\Delta nrdof (V_{hp},V_{opt},K) } \) )
6 Jeśli \( rate(w) \geq rate\_max \) wówczas \( rate\_max = rate(w) \)
7 \( V_{opt}^K \) odpowiadająca \( rate\_max \) to optymalna rozszerzona przestrzeń aproksymacyjna nad elementem \( K \)
Niech \( T_{hp}=\{ \left(K, X\left(K\right), \Pi_p \right) \}_K \) będzie siatką obliczeniową.
Niech \( V_{hp} \subset V_{\frac{h}{2}p+1} \subset V \) będą przestrzeniami aproksymacyjnymi na siatce obliczeniowej i odpowiadającej jej siatce referencyjnej.
Niech \( u_{hp} \in V_{hp}, u_{\frac{h}{2}p+1} \in V_{\frac{h}{2}p+1} \) będą rozwiązaniami na siatce obliczeniowej i referencyjnej.
Błędem względnym rozwiązania na siatce obliczeniowej dany jest wzorem
\( err\_rel (u_{hp}) = \frac{ \|u_{\frac{h}{2}p+1}-u_{hp}\|_{H^1(\Omega)} }{ \|u_{\frac{h}{2}p+1}\|_{H^1(\Omega)} } \)
Uwaga 2: Algorytm hp adaptacji
1. Stwórz \( T_{hp}=\{ \left(K, X\left(K\right), \Pi_p \right) \}_K \) początkową siatką obliczeniową oraz \( V_{hp} \subset V \) przestrzeń aproksymacyjną na siatce obliczeniowej.
2. Wygeneruj siatkę referencyjną oraz \( V_{\frac{h}{2}p+1} \subset V \) przestrzeń aproksymacyjną na siatce referencyjnej.
3. Oblicz \( u_{hp} \in V_{hp}, u_{\frac{h}{2}p+1} \in V_{\frac{h}{2}p+1} \) rozwiązania na siatce obliczeniowej i referencyjnej.
4. for \( K \in {\cal P}(T_{hp },K) \) (pętla po elementach siatki obliczeniowej)
5. \( rate\_max=0 \)
5. for \( V_{opt}^K \) (pętla po przestrzeniach rozszerzonych nad elementem \( K \) )
6. Oblicz funkcję interpolującą \( w \) poprzez projekcję rozwiązania na siatce referencyjnej \( u_{\frac{h}{2}p+1} \) nad elementem \( K \) odpowiadającą rozszerzonej przestrzeni aproksymacyjnej \( V_{opt}^K \)
7. Oblicz prędkość spadku błędu \( rate(w)= \frac{| u_{\frac{h}{2}p+1} - u_{hp} |_{H^1(K)}-| u_{\frac{h}{2}p+1} - w_{opt} |_{H^1(K)} } {\Delta nrdof (V_{hp},V_{opt},K) } \) )
8. Jeśli \( rate(w) \geq rate\_max \) wówczas \( rate\_max = rate(w) \)
9. endfor (koniec pętli po przestrzeniach rozszerzonych)
10. Wygeneruj \( V_{opt}^K \) odpowiadającą \( rate\_max \) optymalną rozszerzona przestrzeń aproksymacyjna nad elementem \( K \)
11. endfor (koniec pętli po elementach)
12. Wyeliminuj konflikty pomiędzy sąsiadującymi fragmentami optymalnej rozszerzonej przestrzeni aproksymacyjnej (w dwóch wymiarach stopnie wielomianów na krawędziach elementów powinny równać się minimum stopni z odpowiadającym im wnętrz (ścian w 3D), w trzech wymiarach dodatkowo stopnie wielomianów na ścianach powinny równać się minimum odpowiadającym im stopniom we wnętrzach elementów)
13. Oblicz błąd względny rozwiązania na siatce obliczeniowej \( err\_rel (u_{hp}) = \frac{ \|u_{\frac{h}{2}p+1}-u_{hp}\|_{H^1(\Omega)} }{ \|u_{\frac{h}{2}p+1}\|_{H^1(\Omega)} } \)
14. Jeśli \( err\_rel (u_{hp}) = \frac{ \|u_{\frac{h}{2}p+1}-u{hp}\|_{H^1(\Omega)} }{ \|u_{\frac{h}{2}p+1}\|_{H^1(\Omega)} } \leq \epsilon \) wówczas STOP
15. Idź do punktu 2